|
| A. \( \frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3 \) | B. \( \frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3 \) | C. \( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3 \) | D. \( \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \) |
Objętość stożka wyraża się wzorem \[ V=\frac{1}{3}\pi\class{color1}{r}^2\class{color2}{H} \] Gdzie \( \class{color2}{H} \) to wysokość stożka, a \( \class{color1}{r} \) to promień koła w podstawie.
Narysujmy stożek z zadania. Jako że przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku \( a \), to promień podstawy będzie miał długość \( \frac{a}{2} \). Zatem \[ \class{color1}{r}=\frac{a}{2} \]
Widzimy, że wysokość stożka \( \class{color2}{H} \) jest także wysokością trójkąta równobocznego, którego długość jego boku to \( a \). Skorzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego. \[ \class{color2}{H}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \]
Wróćmy do wzoru na objętość stożka, mamy \[ V=\frac{1}{3}\pi\class{color1}{r}^2\class{color2}{H}\\ V=\frac{1}{3}\pi\left(\class{color1}{\frac{a}{2}}\right)^2 \class{color2}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}\class{mathHint hintRozPierwWzglDziel}{=}\frac{1}{3}\pi\frac{a^2}{2^2}\frac{a\sqrt{3}}{2} =\\ =\frac{1}{3}\pi\frac{a^2}{4}\frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{1}{3}\pi a^2 \frac{1}{4}a\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{4} \pi a^2 a =\\ =\frac{1\cdot\sqrt{3}\cdot 1}{3\cdot2\cdot4}\pi a^3 = \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \]
Prawidłowa odpowiedź, to odpowiedź D.
