Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 30, matura 2012 maj

W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów \(A\) i \(B\). Dwusieczne te przecinają się w punkcie \(P\). Uzasadnij, że kąt \(APB\) jest rozwarty.

Przyjrzyjmy się trójkątowi \(APB\). Jako, że dwa z jego boków tworzą dwusieczne kątów \(A\) i \(B\), to jeden z jego kątów ma miarę \(\frac{A}{2}\), drugi \(\frac{B}{2}\), zatem trzeci kąt (suma kątów w trójkącie jest równa \(180^{\circ}\)) będzie równy \[ \angle APB = 180^\circ - \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}\right) = 180^\circ - \left(\frac{A+B}{2}\right) \] Mamy więc: \[ \angle APB = 180^\circ - \left(\frac{A+B}{2}\right) \tag{I} \]

Jako że kąty \(A\), \(B\) oraz \(C\) tworzą trójkąt, to \[ \begin{matrix} A+B+C=180^\circ & /-C \end{matrix}\\ A+B=180^\circ - C\\ \begin{matrix} A+B < 180^\circ & /:2 \end{matrix}\\ \] \[ \frac{A+B}{2} < 90^\circ \tag{II} \]

Wracamy do równania \(\text{(I)}\) i korzystamy z zależności \(\text{(II)}\) \[ \angle APB = 180^\circ - \left(\frac{A+B}{2}\right) \stackrel{\text{(II)}}{>} 90^\circ \] Znak większości pojawił się, ponieważ wartość mniejszą od \(90^\circ\) odejmujemy.

Pokazaliśmy, że kąt \(\angle APB\) jest większy od \(90^\circ\) zatem jest to kąt rozwarty.

Drukuj

Polub nas