Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 31, matura 2010 maj

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa tego trapezu jest równa \(6\). Oblicz obwód tego trapezu.

Narysujmy trapez z zadania 6 Jako że podstawa jest bokiem trójkątem równoboczny, to pozostałe boki tego trójkąta mają taką samą długość. Zatem wszystkie boki trójkąta równobocznego mają długość \(6\). Wszystkie kąty w trójkącie równobocznym mają miarę \(60^\circ\). Zaznaczmy taki kąt na rysunku. Dodatkowo oznaczmy boki nieznanej długości jako \(a\) i \(b\), oraz oznaczmy kąt w trójkącie prostokątnym jako \(\alpha\). 6 6 6 60° α a b Widzimy, że \( \alpha + 60^\circ = 90^\circ \). Zatem \( \alpha=30^\circ \). Narysujmy trójkąt prostokątny z zadania a b 6 30° Policzymy długość \(a\) przy użyciu funkcji sinus. Mamy \[ \begin{matrix} \text{sin}30^\circ=\frac{a}{6} & /\cdot 6 \end{matrix} \\ 6\cdot\text{sin}30^\circ=a \] Z tabeli podstawowych wartości trygonometrycznych wyczytujemy, że \( \text{sin}30^\circ=\frac{1}{2} \). Mamy \[ a=6\frac{1}{2}=3 \] Policzymy długość \(b\) przy użyciu funkcji cosinus. Mamy \[ \begin{matrix} \text{cos}30^\circ=\frac{b}{6} & /\cdot 6 \end{matrix} \\ 6\cdot\text{cos}30^\circ=b \] Z tabeli podstawowych wartości trygonometrycznych wyczytujemy, że \( \text{cos}30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} \). Mamy \[ b=6\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} \] Boki naszego trapezu mają zatem długości \( 6 \), \( 6 \), \( 3 \) i \( 3\sqrt{3} \). Obwód to suma długości boków, mamy więc \[ O=6+6+3+3\sqrt{3}=15+3\sqrt{3} \] Obwód trapezu to \( 15+3\sqrt{3} \).

Drukuj

Polub nas