A. \( x=4 \) | B. \( x=-4 \) | C. \( x=2 \) | D. \( x=-2 \) |
Aby narysować rysunek do zadania musimy wiedzieć w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Są one skierowane w górę, gdy współczynnik \( \class{color1}{a} \) funkcji kwadratowej jest dodatni, a w dół, gdy jest ujemny.
Równanie paraboli (wykresu funkcji kwadratowej) z treści zadania zapisane jest w postaci ogólnej, czyli \[ y=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c} \] Odczytamy współczynnik \( \class{color1}{a} \) \[ y=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}\\ y=x^2-4x+2010=\class{color1}1x^2+\class{color2}{(-4)}x+\class{color3}{2010}\\[1em] \class{color1}a=1 \] Współczynnik \( \class{color1}a \) jest dodatni, więc ramiona paraboli z treści zadania są skierowane w górę. Narysujemy tę parabolę i jej oś symetrii wiedząc, że oś symetrii paraboli przechodzi naturalnie przez jej wierzchołek, który oznaczymy jako \( W \). Oznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli: \( W=(\class{color1}p,\class{color2}q) \). Wtedy, jako że oś symetrii przechodzi przez ten punkt, to współrzędne wszystkich punktów leżących na osi symetrii będą miały taką samą współrzędną \( x \) (tylko współrzędna \( y \) się zmienia, bo prosta ta jest prostopadła do osi \( Ox \)). Zatem współrzędne punktów leżących na osi symetrii będą spełniały równanie \( x=\class{color1}p \).
Jeżeli punkt \( W=(\class{color1}p,\class{color2}q) \) jest wierzchołkiem paraboli o równaniu zapisanym w postaci ogólnej, to mamy
\[
\class{color1}{p}=-\frac{b}{2a} \\
\class{color2}{q}=-\frac{\bigtriangleup}{4a}
\]
Interesuje nas współrzędna \( x \) punktu \( W \), czyli wartość \( \class{color1}{p} \).
Odczytamy współczynnik \( \class{color2}b \) z równania paraboli
\[
y=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}\\
y=x^2-4x+2010=\class{color1}1x^2+\class{color2}{(-4)}x+\class{color3}{2010}\\[1em]
\class{color2}b=-4
\]
Mamy
\[
\class{color1}{p}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2
\]
Zatem punkty leżące na osi symetrii (a więc te leżące idealnie nad i pod punktem \( W \)) mają współrzędną \( x \) równą \( 2 \). Czyli równanie osi symetrii to \( x=2 \).
Prawidłowa odpowiedź to C.