Zadania → Geometria na płaszczyźnie → Prosta → Proste prostopadłe → nr 18, matura próbna 2012 listopad |
| A. \( a=-\frac{2}{9} \) | B. \( a=\frac{2}{9} \) | C. \( a=-\frac{9}{2} \) | D. \( a=\frac{9}{2} \) |
Żeby zadanie było bardziej przejrzyste, równanie prostej \( k \) zapiszemy jako \( y=\class{color1}{a_k}x+\class{color2}{b_k} \).
Gdy dwie proste są zapisane w postaci kierunkowej, czyli
\[
k:\text{ }y=\class{color1}{a_k}x+\class{color2}{b_k} \\
l:\text{ }y=\class{color1}{a_l}x+\class{color2}{b_l}
\]
to są do siebie prostopadłe, gdy:
\[
\class{color1}{a_k}\cdot\class{color1}{a_l}=-1
\]
Sprowadzimy prostą \( l \) do postaci kierunkowej \[ \begin{matrix} 2x-9y+6=0 & /+9y \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2x+6=9y & /:9 \end{matrix} \\ \frac{2x+6}{9}=y \\ y=\frac{2}{9}x+\frac{6}{9} \] Odczytujemy, że współczynnik kierunkowy prostej \( l \) to \( \frac{2}{9} \).
Z wcześniej opisanego warunku na prostopadłość mamy:
\[
\class{color1}{a_k}\cdot\class{color1}{a_l}=-1 \\
\begin{matrix}
\class{color1}{a_k}\cdot\frac{2}{9}=-1
&
/\cdot\frac{9}{2}
\end{matrix} \\
\class{color1}{a_k}=-1\frac{9}{2} \\
\class{color1}{a_k}=-\frac{9}{2}
\]
Wyliczyliśmy, że współczynnik kierunkowy prostej \( k \) jest równy \( -\frac{9}{2} \).
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.
