Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 29, matura 2012 maj

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \( A=(-2,2) \) i \( B=(2,10) \)

Oznaczmy jako \( k \) prostą zawierającą odcinek \( AB \). Wówczas symetralna odcinka \( AB \) będzie prostopadła do prostej \( k \) i przechodzić będzie przez punkt \( S \), który jest środkiem odcinka \( AB \). Narysujmy to: 0 2 x y 10 2 A=(-2,2) B=(2,10) k S l -2 Obliczymy równanie prostej \( k \). Prostą zapiszemy w postaci kierunkowej, ułatwi to nam znalezienie wzoru prostej do niej prostopadłej. Postać kierunkowa to równanie postaci: \[ y=ax+b \] Wiemy, że prosta \( k \) przechodzi przez punkty \( A=(-2,2) \) i \( B=(2,10) \), a to znaczy, że punkty te spełniają równanie prostej mamy więc układ równań. \[ \left\{ \begin{matrix} 2=a\cdot(-2)+b \\ 10=a\cdot 2+b \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} 2=-2a+b \\ 10=2a+b \end{matrix} \right. \\ \] Widzimy, że układ ten wygodnie będzie rozwiązać dodając lub odejmując stronami. Dodamy je stronami (dodamy lewe oraz prawe strony pierwszego i drugiego równania do siebie) i rozwiążemy: \[ 2+10=-2a+b + 2a+b \\ \begin{matrix} 12=2b & /:2 \end{matrix} \\ b=\frac{12}{2}=6 \] Wyliczyliśmy \(b\), wstawimy jego wartość do drugiego równania z układu i rozwiążemy je. \[ 10=2a+b \wedge b=6 \\ \begin{matrix} 10=2a+6 & /-6 \end{matrix} \\ 10-6=2a \\ \begin{matrix} 4=2a & /:2 \end{matrix}\\ a=2 \] Prosta \( k \) ma więc równanie: \[ y=2x+6 \]

Wiemy, że prosta \( l \) jest prostopadła do prostej \( k \), musi zachodzić więć warunek na prostopadłość prostych, czyli iloczyn współczynników kierunkowych \( a \) musi być równy \( -1 \).
Załóżmy, że prosta \( l \) ma równanie: \[ y=a_lx+b_l \] Współczynnik kierunkowy prostej \( k \) jest równy \( 2 \). Policzmy więc współczynnik kierunkowy \( a_l \) z równania prostej \( l \). \[ \begin{matrix} 2\cdot a_l=-1 & /:2 \end{matrix} \\ a_l=\frac{-1}{2} \] Wiemy już, że prosta \( l \) ma równanie postaci: \[ y=-\frac{1}{2}+b_l \]

Współczynnik \( b_l \) policzymy korzystając z faktu, że prosta \( l \) przechodzi przez punkt \( S \) będący środkiem odcinka \( AB \). Wyliczymy współrzędne punktu \( S \) wiedząć, że środek odcinka ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców tego odcinka. \[ S=\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+10}{2} \right)=\left(\frac{0}{2}, \frac{12}{2} \right)=(0,6) \]

Punkt \( S \) leży na prostej \( l \), więc spełnia jej równanie (\(y=-\frac{1}{2}+b_l\)). Podstawimy więc jego współrzędne do równania tej prostej. \[ 6=-\frac{1}{2}\cdot0+b_l \\ 6=b_l \] Współczynnik \( b_l \) wynosi \( 6 \)

Równanie prostej będącą symetralną odcinka o końcach \( A=(-2,2) \) i \( B=(2,10) \) to \( y=-\frac{1}{2}x+6 \).

Drukuj

Polub nas