Zadania → Geometria na płaszczyźnie → Okrąg → Kąt wpisany w okrąg / kąt środkowy → nr 16, matura 2013 sierpień |
| A. \( 40^\circ \) | B. \( 50^\circ \) | C. \( 60^\circ \) | D. \( 80^\circ \) |
Zaznaczmy na rysunku odcinek \( AC \). Powstanie nam trójkąt równoramienny \( AOC \), ponieważ \( OC \) i \( OA \) to oczywiście promienie okręgu. Dzięki temu możemy stwierdzić, że \( \angle OCA \) i \( \angle CAO \) będą takie same - oznaczmy je na rysunku jako \( \beta \).
Suma kątów w trójkącie to \( 180^\circ \), jako że mamy trójkącie \( AOC \) dwa kąty \( \beta \) oraz kąt \( 100^\circ \), możemy wyliczyć wartość kąta \( \beta \). \[ \begin{matrix} 2\beta + 100^\circ = 180^\circ & /-100^\circ \end{matrix} \\ 2\beta = 180^\circ - 100^\circ\\ \begin{matrix} 2\beta = 80^\circ & /:2 \end{matrix}\\ \beta = \frac{80^\circ}{2}=40^\circ \] Zauważmy, że teraz, że kąt \( BCA \), który jest sumą kątów \( \alpha \) i \( \beta \) jest kątem wpisanym opartym na średnicy. Miara takiego kąta to \( 90^\circ \). Możemy więc zapisać \[ \alpha + \beta = 90^\circ \] Wiemy, że \( \beta = 40^\circ \), wyliczmy \( \alpha \) \[ \begin{matrix} \alpha + 40^\circ = 90^\circ & /-40^\circ \end{matrix}\\ \alpha = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \]Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.
