Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 22, matura próbna 2010 listopad

Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu \( y=x^2-4x+2010 \).
A. \( x=4 \) B. \( x=-4 \) C. \( x=2 \) D. \( x=-2 \)

Aby narysować rysunek do zadania musimy wiedzieć w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Są one skierowane w górę, gdy współczynnik \( \class{color1}{a} \) funkcji kwadratowej jest dodatni, a w dół, gdy jest ujemny.

Równanie paraboli (wykresu funkcji kwadratowej) z treści zadania zapisane jest w postaci ogólnej, czyli \[ y=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c} \] Odczytamy współczynnik \( \class{color1}{a} \) \[ y=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}\\ y=x^2-4x+2010=\class{color1}1x^2+\class{color2}{(-4)}x+\class{color3}{2010}\\[1em] \class{color1}a=1 \] Współczynnik \( \class{color1}a \) jest dodatni, więc ramiona paraboli z treści zadania są skierowane w górę. Narysujemy tę parabolę i jej oś symetrii wiedząc, że oś symetrii paraboli przechodzi naturalnie przez jej wierzchołek, który oznaczymy jako \( W \). W Oznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli: \( W=(\class{color1}p,\class{color2}q) \). Wtedy, jako że oś symetrii przechodzi przez ten punkt, to współrzędne wszystkich punktów leżących na osi symetrii będą miały taką samą współrzędną \( x \) (tylko współrzędna \( y \) się zmienia, bo prosta ta jest prostopadła do osi \( Ox \)). Zatem współrzędne punktów leżących na osi symetrii będą spełniały równanie \( x=\class{color1}p \).

Jeżeli punkt \( W=(\class{color1}p,\class{color2}q) \) jest wierzchołkiem paraboli o równaniu zapisanym w postaci ogólnej, to mamy \[ \class{color1}{p}=-\frac{b}{2a} \\ \class{color2}{q}=-\frac{\bigtriangleup}{4a} \] Interesuje nas współrzędna \( x \) punktu \( W \), czyli wartość \( \class{color1}{p} \).
Odczytamy współczynnik \( \class{color2}b \) z równania paraboli \[ y=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}\\ y=x^2-4x+2010=\class{color1}1x^2+\class{color2}{(-4)}x+\class{color3}{2010}\\[1em] \class{color2}b=-4 \] Mamy \[ \class{color1}{p}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2 \] Zatem punkty leżące na osi symetrii (a więc te leżące idealnie nad i pod punktem \( W \)) mają współrzędną \( x \) równą \( 2 \). Czyli równanie osi symetrii to \( x=2 \).

Prawidłowa odpowiedź to C.

Drukuj

Polub nas