Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 26, matura 2012 sierpień

Rozwiąż nierówność \( x^2-8x+7\ge0 \).

Mamy do czynienia z nierównością kwadratową. Rozwiążemy ją rysując wykres funkcji \(f(x)=x^2-8x+7\), a następnie odczytując z wykresu, dla których \(x\) funkcja przybiera wartość mniejszą lub równą \(0\).

Aby narysować odpowiedni wykres funkcji \(x^2-8x+7\), musimy znać jej miejsca zerowe oraz wiedzieć, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Funkcja zapisana jest w postaci ogólnej, a jej współczynniki to: \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=-8\\ \class{color3}{c}=7 \]

Odczytamy z równania, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik \(\class{color1}{a}\) funkcji jest równy \(1\), a zatem jest większy od zera. Ramiona paraboli będą skierowane w górę.

Wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(x^2-8x+7\). Wpierw policzymy deltę. \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c} =(-8)^2-4\cdot1\cdot7\\=64-4\cdot7=64-28=36 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je: \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{36}=6\\ x_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\cdot\class{color1}{a}}=\frac{-(-8)-6}{2\cdot1}=\frac{8-6}{2}=\frac{2}{2}=1 \\ x_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-8)+6}{2\cdot1}=\frac{8+6}{2}=\frac{14}{2}=7 \] A więc miejsca zerowe funkcji \(f(x)=x^2-8x+7\) to \(1\) oraz \(7\).

Narysujmy wykres funkcji x 1 7 Na wykresie zaznaczono dodatkowo na osi \(Ox\) te \( x \), dla których \(f(x)\ge0\) (czyli te punkty na osi \(Ox\), dla których wykres funkcji leży nad osią \(Ox\)).
Widzimy, że \( x^2-8x+7\ge0 \) wtedy, gdy \( x\in (-\infty,1\rangle \cup \langle7,+\infty) \).

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności \( x^2-8x+7\ge0 \) są \( x\in (-\infty,1\rangle \cup \langle7,+\infty) \).

Drukuj

Polub nas