Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 24, matura 2011 maj

Rozwiąż nierówność \(3x^2-10x+3\le 0\).

Mamy do czynienia z nierównością kwadratową. Rozwiążemy ją rysując wykres funkcji \(f(x)=3x^2-10x+3\), a następnie odczytując z wykresu, dla których \(x\) funkcja przybiera wartość mniejszą lub równą \(0\).

Aby narysować odpowiedni wykres funkcji \(3x^2-10x+3\), musimy znać jej miejsca zerowe oraz wiedzieć, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Funkcja zapisana jest w postaci ogólnej, a jej współczynniki to: \[ \class{color1}{a}=3\\ \class{color2}{b}=-10\\ \class{color3}{c}=3 \]

Odczytamy z równania, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik \(\class{color1}{a}\) funkcji jest równy \(3\), a zatem jest większy od zera. Ramiona paraboli będą skierowane w górę.

Wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(3x^2-10x+3\). Wpierw policzymy deltę. \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}\\ \bigtriangleup =(-10)^2-4\cdot3\cdot3\\=100-4\cdot9=100-36=64 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je: \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{64}=8\\ x_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\ x_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\[0.3in] x_1=\frac{-(-10)-8}{2\cdot3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\[0.3in] x_2=\frac{-(-10)+8}{2\cdot3}=\frac{10+8}{2\cdot3}=\frac{18}{6}=3 \] A więc miejsca zerowe funkcji \(f(x)=3x^2-10x+3\) to \(\frac{1}{3}\) oraz \(3\).

Narysujemy wykres naszej funkcji: 1/3 3 x Tym kolorem zostały zaznaczone te \(x\) z osi liczbowej, dla których \(f(x)\le 0\), a więc \(x\in \left\langle \frac{1}{3},3 \right\rangle \).

Odpowiedź: \(3x^2-10x+3\le 0\) gdy \(x\in \left\langle \frac{1}{3},3 \right\rangle \).

Drukuj

Polub nas