Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 30, matura 2010 maj

Wykaż, że jeśli \( a>0 \), to \( \frac{a^2+1}{a+1}\ge \frac{a+1}{2}\).

Z treści zadania wiemy, że interesują nas tylko \( a \) większe od zera, więc mianownik lewej strony nierówności jest różny od zera dla wszystkich \( a \) (do liczby większej od zera dodajemy jeden, więc otrzymamy liczbę większą od jeden). Nie mamy zatem problemu z dziedziną.

Sprowadzimy nierówność do innej postaci \[ \begin{matrix} \frac{a^2+1}{a+1}\ge \frac{a+1}{2} & /\cdot 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2\frac{a^2+1}{a+1}\ge a+1 & /\cdot (a+1) \end{matrix} \] W tym miejscu należy zauważyć, że mnożymy przez liczbę większą od zera, ponieważ \(a+1\) jest jak pokazaliśmy chwilę wcześniej większe od zera, więc nie zmieniamy znaku nierówności. \[ 2(a^2+1)\ge (a+1)(a+1) \] Po prawej stronie równania używamy wzoru skroconego mnożenia na kwadrat sumy, z lewej strony wymnożymy wyrażenie \[ 2a^2+2\ge a^2+2a+1 \] Przeniesiemy wszytko na jedną stronę i otrzymamy nierówność kwadratową \[ \begin{matrix} 2a^2+2\ge a^2+2a+1 & /-(a^2+2a+1) \end{matrix} \\ 2a^2+2-(a^2+2a+1)\ge 0 \\ 2a^2+2-a^2-2a-1\ge 0\\ a^2-2a+1\ge 0 \] Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy \[ a^2-2a+1=(a-1)^2 \] Mamy więc \[ a^2-2a+1\ge 0 \Leftrightarrow (a-1)^2\ge 0 \]

Widzimy, że mamy nierówność kwadratową postaci \( f(a)\ge 0 \), gdzie funkcja \(f(a)\) jest zapisana w postaci iloczynowej, bo mamy: \[ f(a)=1(a-1)(a-1) \] Liczba \( a_0=1 \) jest podwójnym miejscem zerowym funkcji \(f(a)\). Ramiona paraboli będą skierowane w górę.
Narysujmy wykres funkcji a 1 Widzimy, że najmniejsza wartość jaką osiąga funkcja to \( 0 \) dla \( a=1\). Zatem dla wszytkich \( a>0 \) mamy \( (a-1)^2\ge 0 \). Czyli \( \frac{a^2+1}{a+1}\ge \frac{a+1}{2}\) dla \( a>0 \).

Drukuj

Polub nas