Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 27, matura próbna 2012 listopad

Rozwiąż nierówność \( x^2-9>0 \).

Rozwiązanie I

Mamy do czynienia z nierównością kwadratową postaci \( f(x)>0 \). Rozwiążemy zadanie sprowadzając funkcję \( f(x) \) do postaci iloczynowej przy użyciu wzoru skróconego mnożenia. Następnie narysujemy wykres funkcji i odczytamy z niego, dla których \( x \) funkcja przyjmuje wartości większe od zera.

Sprowadzimy funkcję do postaci iloczynowej: \[ f(x)=x^2-9=\class{color1}{x}^2-\class{color2}{3}^2\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}(\class{color1}{x} - \class{color2}{3})(\class{color1}{x} + \class{color2}{3})=1(x-3)(x-(-3)) \] Zapisaliśmy funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, czyli w takiej: \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2}) \] Gdzie \( \class{color2}{x_1} \) i \( \class{color2}{x_2} \) to miejsca zerowe. Miejsca zerowe funkcji \( f(x) \) to w takim razie \( 3 \) i \( -3 \). Jako że współczynnik \( \class{color1}{a} \) jest większy od zera, to ramiona paraboli skierowane są w górę. -3 3 x Na osi \( \text{O}x \) zaznaczono te \( x \), dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera (czyli te miejsca, dla których wykres funkcji znajduje się nad osią \( \text{O}x \)).

Odpowiedź: \( x^2-9>0 \) gdy \( x\in (-\infty,-3)\cup(3,\infty) \).

Rozwiązanie II

Rozwiążemy nierówność \[ \begin{matrix} x^2-9>0 & /+9 \end{matrix} \\ \begin{matrix} x^2>9 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix}\\ \sqrt{x^2}>\sqrt{9} \] W tym miejscu skorzystamy z faktu, że \( \sqrt{x^2}=|x| \) \[ |x|>3 \] Wartość bewzględna liczby \( x \) to jej odległość od zera na osi liczbowej. Interesują nas zatem liczby odległe od zera na osi liczbowej o więcej niż \( 3 \). Będą to wszystkie liczby większe od \( 3 \) i wszystkie mniejsze od \( -3 \), czyli liczby należące do przedziałów \( (-\infty,-3) \) i \( (3,\infty) \).

Odpowiedź: \( x^2-9>0 \) gdy \( x\in (-\infty,-3)\cup(3,\infty) \).

Drukuj

Polub nas