Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 28, matura próbna 2010 listopad

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Oznaczmy długość przeciwprostokątnej jako \( x \). Wtedy krótsza przyprostokątna (krótsza od przeciwprostokątnej o 32 cm \) będzie miała długość \( x-32 \), a druga (krótsza od przeciwprostokątnej o 1 cm) będzie długości \( x-1 \). Narysujmy ten trójkąt. x x -32 x -1

Aby wyliczyć \( x \) czyli długość przeciwprostokątnej, zastosujmy twierdzenie Pitagorasa do tego trójkąta \[ (x-1)^2+(x-32)^2=x^2 \] Do policzenia \( (x-1)^2 \) oraz \( (x-32)^2 \) użyjemy wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. \[ (\class{color1}x-\class{color2}1)^2+(x-32)^2=x^2\\ \class{color1}x^2-2\class{color1}x\cdot\class{color2}1+\class{color2}1^2-(x-32)^2=x^2\\ x^2-2x+1+\class{color1}x^2-2\class{color1}x\cdot\class{color2}{32}+\class{color2}{32}^2=x^2\\ x^2-2x+1+x^2-64x+1024=x^2\\ \class{color1}{x^2}-\class{color2}{2x}+1+\class{color1}{x^2}\class{color2}{-64x}+1024=x^2\\ \begin{matrix} 2x^2-66x+1025=x^2 & /-x^2 \end{matrix}\\ x^2-66x+1025=0 \]

Mamy równanie postaci \( f(x)=0 \), gdzie \( f(x) \) to funkcja kwadratowa zapisaną w postaci ogólnej. Rozwiązania równania \( f(x)=0 \) to oczywiście miejsca zerowe funkcji \( f(x) \). Znajdziemy je.

W pierwszej kolejności odczytamy współczynniki \[ f(x)=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}\\ f(x)=x^2-66x+1025=\class{color1}{1}x^2+\class{color2}{(-66)}x+\class{color3}{{1025}}\\[1em] \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=-66\\ \class{color3}{c}=1025 \]

Policzymy deltę \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-66)^2-4\cdot1\cdot1025=4356-4100=256 \] Delta jest większa od zera, zatem mamy dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{256}=16\\[1em] x_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-66)-16}{2\cdot1}=\frac{66-16}{2}=\frac{50}{2}=25\\ x_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-66)+16}{2\cdot1}=\frac{66+16}{2}=\frac{82}{2}=41 \]

Załóżmy, że przeciwprostokątna jest równa \( x_1 \), czyli ma długość \( 25\text{ cm} \). Wtedy krótsza przyprostokątna będzie miała długość \[ 25\text{ cm} - 32\text{ cm} = -7\text{ cm} \] Naturalnie długość nie może być mniejsza od zera, zatem ten wariant odrzucamy.
Załóżmy teraz, że przeciwprostokątna jest równa \( x_2 \), czyli ma długość \( 41\text{ cm} \). Wtedy krótsza przyprostokątna będzie miała długość \[ 41\text{ cm} - 32\text{ cm} = 9\text{ cm} \] Dłuższa przyprostokątna będzie miała długość \[ 41\text{ cm} - 1\text{ cm} = 40\text{ cm} \]

Odpowiedź: długość przeciwprostokątnej to 41 cm, a długości przyprostokątnych to 9 cm i 40 cm.

Drukuj

Polub nas