Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 26, matura próbna 2010 listopad

Rozwiąż nierówność \(x^2+11x+30\le 0\).

Mamy do czynienia z nierównością kwadratową. Rozwiążemy ją rysując wykres funkcji \(f(x)=x^2+11x+30\), a następnie odczytując z wykresu, dla których \(x\) funkcja przybiera wartość mniejszą lub równą \(0\).

Aby narysować odpowiedni wykres funkcji \(x^2+11x+30\), musimy znać jej miejsca zerowe oraz wiedzieć, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Funkcja zapisana jest w postaci ogólnej, czyli: \[ f(x)=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c} \] odczytamy współczynniki funkcji z zadania \[ f(x)=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}\\ f(x)=x^2+11x+30=\class{color1}{1}x^2+\class{color2}{11}x+\class{color3}{30}\\[1em] \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=11\\ \class{color3}{c}=30 \]

Odczytamy z równania, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik \(\class{color1}{a}\) funkcji jest równy \(1\), czyli jest większy od zera. Ramiona paraboli będą zatem skierowane w górę.

Wyliczymy miejsca zerowe funkcji \( f(x)=x^2+11x+30 \). Wpierw policzymy deltę. \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c} =11^2-4\cdot1\cdot30=121-4\cdot30=121-120=1 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je: \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{1}=1\\ x_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-11-1}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6\\ x_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-11+1}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \] A więc miejsca zerowe funkcji \(f(x)=x^2+11x+30\) to \( -5 \) oraz \( -6 \).

Narysujemy wykres naszej funkcji: -6 -5 x Tym kolorem zostały zaznaczone te \(x\) z osi liczbowej, dla których \(f(x)\le 0\), a więc \(x\in \left\langle -6,-5 \right\rangle \).

Odpowiedź: \(x^2+11x+30\le 0\) gdy \(x\in \left\langle -6,-5 \right\rangle \).

Drukuj

Polub nas