Funkcja \( f(x)=2x^2-4x+5 \) jest malejąca w przedziale:
A. \( (2,+\infty) \)
B. \( (-\infty,2) \)
C. \( (-\infty,1) \)
D. \( (1,+\infty) \)
Zauważamy, że funkcja \(f(x)\) to funkcja kwadratowa w postaci ogólnej, czyli:
\[
f(x)=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}
\]
Odczytamy współczynniki z naszej funkcji
\[
f(x)=2x^2-4x+5 \\
a=2\\
b=-4\\
c=5
\]
Wyliczymy współrzędne wierzchołka paraboli. Jeżeli punkt \( W=(\class{color2}{p},\class{color3}{q}) \) jest wierzchołkiem paraboli, to jego współrzędne możemy wyliczyć ze wzorów
\[
\class{color2}{p}=-\frac{b}{2a} \\
\class{color3}{q}=-\frac{\bigtriangleup}{4a}
\]
Najpierw policzymy deltę \((\bigtriangleup)\)
\[
\bigtriangleup=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot5=16-8\cdot5=16-40=-24
\]
Policzymy współrzędne wierzchołka paraboli
\[
\class{color2}{p}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot2}=\frac{4}{4}=1 \\
\class{color3}{q}=-\frac{\bigtriangleup}{4a}=-\frac{-24}{4\cdot2}=\frac{24}{8}=3
\]
Zatem wierzchołek paraboli to punkt \( (1,3) \). Ramiona paraboli będą skierowane w górę, ponieważ współczynnik \( \class{color1}{a} \) jest większy od \( 0 \).
Narysujemy jej wykres:
Widzimy, że funkcja maleje aż do współrzędnej \(x\) wierzchołka, czyli do \(1\) na osi \(\text{O}x\). Zatem funkcja jest malejąca w przedziale \( (-\infty,1) \).
Prawidłowa odpowiedź to C.
