Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 11, matura 2012 sierpień

Równanie \( \frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0 \) ma
A. dokładnie jedno rozwiązanie B. dokładnie dwa rozwiązanie
C. dokładnie trzy rozwiązania D. dokładnie cztery rozwiązania

W pierwszym kroku zauważamy, że niewiadoma \(x\) występuje w mianowniku, zatem określimy dziedzinę, czyli te \(x\), dla których to zadanie w ogóle ma sens. Należy wykluczyć przypadki, w których w mianowniku mamy wartość \( 0 \) (nie dzielimy przez \(0\)!).
Sprawdzamy więc dla jakich \(x\) w mianowniku mamy \(0\) \[ (x-3)(x+2)=0 \] Jest to równanie kwadratowe \( f(x)=0 \), w którym funkcja kwadratowa \( f(x) \) zapisana jest w postaci iloczynowej, czyli postaci \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2}) \] Gdzie \( \class{color2}{x_1} \) i \( \class{color2}{x_2} \) to miejsca zerowe, zatem to rozwiązania \( f(x)=0 \). Odczytamy \( \class{color2}{x_1} \) i \( \class{color2}{x_2} \) z równania naszej funkcji z mianownika \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\\ f(x)=(x-3)(x+2)=(x-3)(x-(-2))\\[1em] \class{color2}{x_1}=3 \\ \class{color2}{x_2}=-2 \] Zatem mianownik jest równy zero, gdy \( x=3 \) lub \( x=-2 \). Zatem tych \(x\) w ogóle przy rozwiązywaniu zadania nie bierzemy uwagę. Dziedzina równania z zadania to w takim razie \( D=\mathbb{R}\backslash\{-2,3\} \).

Rozwiążemy teraz zadanie, korzystając z faktu, że ułamek jest równy zero wtedy, kiedy jego licznik jest równy zero. Przyrównujemy więc do zera licznik z równania z zadania \[ (x+3)(x-2)=0 \] Mamy analogiczny przypadek jak przy ustalaniu dziedziny - znów równanie kwadratowe, funkcja zapisana w postaci iloczynowej. Odczytamy miejsca zerowe \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\\ f(x)=(x+3)(x-2)=(x-(-3))(x-2)\\[1em] \class{color2}{x_1}=-3 \\ \class{color2}{x_2}=2 \] Widzimy, że rozwiązania to \( x_1=-3 \) oraz \( x_2=2 \). Obydwa należą do dziedziny, którą określiliśmy wcześniej, zatem to faktycznie rozwiązania tego zadania. Równanie ma zatem dokładnie dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!