Zbadaj monotoniczność ciągów
|
a) \( a_n=2^n \)
|
b) \( b_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n \)
|
c) \( c_n=5^{n+2} \)
|
c) \( d_n=\left(\frac{3}{4}\right)^{n-3} \)
|
Monotoniczność ciągu badamy sprawdzając jak mają się kolejne wyrazy do poprzednich. Jeżeli te wyrazy będą większe, to ciąg jest rosnący, etc. Zadanie rozwiążemy biorąc dowolny (załóżmy, że \( \class{color2}n \)-ty) wyraz ciągu. Wtedy następny wyraz będzie w kolejności \( \class{color2}{n+1} \) (\(\class{color2}n\) plus pierwszy). Badając ich proporcje dowiemy się, jaka jest monotoniczność ciągu (jeżeli po podzieleniu następnego przez poprzedni otrzymamy liczbę większa od \( 1 \) to następna jest większa itd).
-
a) \( a_\class{color2}n=2^\class{color2}n \)
\[
a_\class{color2}n=2^\class{color2}n\\
a_\class{color2}{n+1}=2^\class{color2}{n+1} \\[1em]
\frac{a_\class{color2}{n+1}}{a_\class{color2}n}=
\frac{2^\class{color2}{n+1}}{2^\class{color2}n}=
\frac{2^\class{color1}{n+1}}{2^\class{color3}n}
\class{mathHint hintIlorazPotegTaSamaPodst}=2^{\class{color1}{n+1}-\class{color3}{n}}=2^1=2>1
\]
Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazu następny wyraz po nim jest większy, zatem ciąg jest rosnący.
-
b) \( b_\class{color2}n=\left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}n \)
\[
b_\class{color2}n=\left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}n \\
b_\class{color2}{n+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}{n+1} \\[1em]
\frac{b_\class{color2}{n+1}}{b_\class{color2}{n}}=
\frac{ \left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}{n+1} }{ \left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}n }=
\frac{ \left(\frac{1}{3}\right)^\class{color1}{n+1} }{ \left(\frac{1}{3}\right)^\class{color3}n }
\class{mathHint hintIlorazPotegTaSamaPodst}=
\left(\frac{1}{3}\right)^{\class{color1}{n+1}-\class{color3}{n}}=\left(\frac{1}{3}\right)^1=\\
=\frac{1}{3}<1
\]
Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazu następny wyraz po nim jest mniejszy, zatem ciąg jest malejący.
-
c) \( c_\class{color2}n=5^{\class{color2}n+2} \)
\[
c_\class{color2}n=5^{\class{color2}n+2} \\
c_\class{color2}{n+1}=5^{\class{color2}{n+1}+2} \\[1em]
\frac{b_\class{color2}{n+1}}{b_\class{color2}{n}}=
\frac{ 5^{\class{color2}{n+1}+2} }{ 5^{\class{color2}n+2} }=
\frac{ 5^{\class{color1}{n+3}} }{ 5^{\class{color3}{n+2}} }
\class{mathHint hintIlorazPotegTaSamaPodst}=
5^{\class{color1}{n+3}-(\class{color3}{n+2})}=5^{n+3-n-2}=5^1=\\
=5>1
\]
Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazu następny wyraz po nim jest większy, zatem ciąg jest rosnący.
-
d) \( d_\class{color2}n=\left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}n-3} \)
\[
d_\class{color2}n=\left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}n-3} \\
d_\class{color2}{n+1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}{n+1}-3} \\[1em]
\frac{d_\class{color2}{n+1}}{d_\class{color2}{n}}=
\frac{ \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}{n+1}-3} }{ \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}n-3} }=
\frac{ \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color1}{n-2}} }{ \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color3}{n-3}} }
\class{mathHint hintIlorazPotegTaSamaPodst}=
\left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color1}{n-2}-(\class{color3}{n-3})}=\\
=
\left(\frac{3}{4}\right)^{n-2-n+3}=\left(\frac{3}{4}\right)^{1}=\frac{3}{4}<1
\]
Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazu następny wyraz po nim jest mniejszy, zatem ciąg jest malejący.
Drukuj
