Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 6, ciągi

Zbadaj monotoniczność ciągów
a) \( a_n=2^n \) b) \( b_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n \) c) \( c_n=5^{n+2} \) c) \( d_n=\left(\frac{3}{4}\right)^{n-3} \)

Monotoniczność ciągu badamy sprawdzając jak mają się kolejne wyrazy do poprzednich. Jeżeli te wyrazy będą większe, to ciąg jest rosnący, etc. Zadanie rozwiążemy biorąc dowolny (załóżmy, że \( \class{color2}n \)-ty) wyraz ciągu. Wtedy następny wyraz będzie w kolejności \( \class{color2}{n+1} \) (\(\class{color2}n\) plus pierwszy). Badając ich proporcje dowiemy się, jaka jest monotoniczność ciągu (jeżeli po podzieleniu następnego przez poprzedni otrzymamy liczbę większa od \( 1 \) to następna jest większa itd).

  • a) \( a_\class{color2}n=2^\class{color2}n \)
    \[ a_\class{color2}n=2^\class{color2}n\\ a_\class{color2}{n+1}=2^\class{color2}{n+1} \\[1em] \frac{a_\class{color2}{n+1}}{a_\class{color2}n}= \frac{2^\class{color2}{n+1}}{2^\class{color2}n}= \frac{2^\class{color1}{n+1}}{2^\class{color3}n} \class{mathHint hintIlorazPotegTaSamaPodst}=2^{\class{color1}{n+1}-\class{color3}{n}}=2^1=2>1 \] Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazu następny wyraz po nim jest większy, zatem ciąg jest rosnący.
  • b) \( b_\class{color2}n=\left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}n \)
    \[ b_\class{color2}n=\left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}n \\ b_\class{color2}{n+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}{n+1} \\[1em] \frac{b_\class{color2}{n+1}}{b_\class{color2}{n}}= \frac{ \left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}{n+1} }{ \left(\frac{1}{3}\right)^\class{color2}n }= \frac{ \left(\frac{1}{3}\right)^\class{color1}{n+1} }{ \left(\frac{1}{3}\right)^\class{color3}n } \class{mathHint hintIlorazPotegTaSamaPodst}= \left(\frac{1}{3}\right)^{\class{color1}{n+1}-\class{color3}{n}}=\left(\frac{1}{3}\right)^1=\\ =\frac{1}{3}<1 \] Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazu następny wyraz po nim jest mniejszy, zatem ciąg jest malejący.
  • c) \( c_\class{color2}n=5^{\class{color2}n+2} \)
    \[ c_\class{color2}n=5^{\class{color2}n+2} \\ c_\class{color2}{n+1}=5^{\class{color2}{n+1}+2} \\[1em] \frac{b_\class{color2}{n+1}}{b_\class{color2}{n}}= \frac{ 5^{\class{color2}{n+1}+2} }{ 5^{\class{color2}n+2} }= \frac{ 5^{\class{color1}{n+3}} }{ 5^{\class{color3}{n+2}} } \class{mathHint hintIlorazPotegTaSamaPodst}= 5^{\class{color1}{n+3}-(\class{color3}{n+2})}=5^{n+3-n-2}=5^1=\\ =5>1 \] Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazu następny wyraz po nim jest większy, zatem ciąg jest rosnący.
  • d) \( d_\class{color2}n=\left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}n-3} \)
    \[ d_\class{color2}n=\left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}n-3} \\ d_\class{color2}{n+1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}{n+1}-3} \\[1em] \frac{d_\class{color2}{n+1}}{d_\class{color2}{n}}= \frac{ \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}{n+1}-3} }{ \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color2}n-3} }= \frac{ \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color1}{n-2}} }{ \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color3}{n-3}} } \class{mathHint hintIlorazPotegTaSamaPodst}= \left(\frac{3}{4}\right)^{\class{color1}{n-2}-(\class{color3}{n-3})}=\\ = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-2-n+3}=\left(\frac{3}{4}\right)^{1}=\frac{3}{4}<1 \] Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazu następny wyraz po nim jest mniejszy, zatem ciąg jest malejący.

Drukuj

Polub nas