Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 28, matura 2012 sierpień

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \( 3 \), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \( 15 \). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego można policzyć korzystając ze wzoru \[ S_\class{color2}{n}=\frac{a_1+a_\class{color2}{n}}{2}\class{color2}{n} \] Zatem suma sześciu początkowych wyrazów będzie równa \[ S_\class{color2}{6}=\frac{a_1+a_\class{color2}{6}}{2}\class{color2}{6} \] Wiemy, że pierwszy wyraz ciągu jest równy \(3\), czyli \[ a1=3 \]

We wzorze występuje jeszcze \(a_6\), wartość tego wyrazu policzymy korzystając ze wzoru na \( \class{color2}{n} \)-ty w kolejności wyraz ciągu arytmetycznego \[ a_\class{color2}{n}=a_1+(\class{color2}{n}-1)\cdot \class{color1}{r} \] Gdzie \( \class{color1}{r} \) to różnica ciągu arytmetycznego (różnica pomiędzy wszystkimi kolejnymi dwoma wyrazami). Policzymy różnicę korzystając z faktu, że wiemy, że \( a_4 = 15 \). Mamy więc \[ a_\class{color2}{4}=a_1+(\class{color2}{4}-1)\cdot \class{color1}{r}=15\\ a_1+3\class{color1}{r}=15\\ \begin{matrix} 3+3\class{color1}{r}=15\\ & /-3 \end{matrix}\\ 3\class{color1}{r}=15-3\\ \begin{matrix} 3\class{color1}{r}=12 & /:3 \end{matrix}\\ \class{color1}{r}=\frac{12}{3}=4 \]

Możemy teraz policzyć wartość \( a_6 \) \[ a_\class{color2}{6}=a_1+(\class{color2}{6}-1)\cdot \class{color1}{r}=3+5\cdot4=3+20=23 \]

Policzymy sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu \[ S_\class{color2}{6}=\frac{a_1+a_\class{color2}{6}}{2}\class{color2}{6}=\frac{3+23}{2}\cdot6=\frac{26}{2}\cdot6=26\cdot3=78 \]

Odpowiedź: Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu wynosi \( 78 \).

Drukuj

Polub nas