|
| A. \( 40^{\circ} \) | B. \( 50^{\circ} \) | C. \( 60^{\circ} \) | D. \( 70^{\circ} \) |
Kąty czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny, zatem oznaczymy je jako kolejne wyrazy ciągu \((\class{color1}{a}_n)\), zgodnie z definicją ciągu arytmetycznego: \[ \class{color1}{a}_1, \\ \class{color1}{a}_2=\class{color1}{a}_1+\class{color2}{r}, \\ \class{color1}{a}_3=\class{color1}{a}_1+2\class{color2}{r}, \\ \class{color1}{a}_4=\class{color1}{a}_1+3\class{color2}{r}, \\ \] Treść zadania mówi nam, że różnica tego ciągu wynosi \(20^{\circ}\). Wypiszmy wyrazy ciągu po podstawieniu \(\class{color2}{r}=20^{\circ}\) \[ \class{color1}{a}_1, \\ \class{color1}{a}_2=\class{color1}{a}_1+20^{\circ}, \\ \class{color1}{a}_3=\class{color1}{a}_1+2\cdot 20^{\circ}, \\ \class{color1}{a}_4=\class{color1}{a}_1+3\cdot 20^{\circ}, \\ \] Wiemy, że suma kątów w czworokącie jest równa \(360^{\circ}\), zatem mamy: \[ \class{color1}{a}_1+\class{color1}{a}_2+\class{color1}{a}_3+\class{color1}{a}_4=360^{\circ}\\ \class{color1}{a}_1+\class{color1}{a}_1+20^{\circ}+\class{color1}{a}_1+2\cdot 20^{\circ}+\class{color1}{a}_1+3\cdot 20^{\circ}=360^{\circ}\\ 4\class{color1}{a}_1+6\cdot 20^{\circ}=360^{\circ}\\ \begin{matrix} 4\class{color1}{a}_1+120^{\circ}=360^{\circ} && / -120^{\circ} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4\class{color1}{a}_1=240^{\circ} && / :4^{\circ} \end{matrix} \\ \class{color1}{a}_1=\frac{240^\circ}{4} \\ \class{color1}{a}_1=60^\circ \] Wyliczyliśmy, że pierwszy wyraz ciągu jest równy \(60^{\circ}\).
Prawidłowa odpowiedź to C.
