A. \( S_{2n}=8n^2+4n \) | B. \( S_{2n}=4n^2+2 \) |
C. \( S_{2n}=4n^2+n \) | D. \( S_{2n}=2n^2+2n \) |
Ciąg parzystych liczb naturalnych dodatnich to ciąg arytmetyczny, który zdefiniujemy następująco: \[ \class{color1}{a}_1=2\\ \class{color3}{r}=2 \] Czyli - pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba \( 2 \) (bo jest to najmniejsza dodatnia, parzysta liczba), a różnica tego ciągu jest też równa \( 2 \) (różnica między każdymi kolejnymi liczbami parzystymi jest równa \( 2 \)).
Wyraz będący \( 2\class{color2}{n} \) w kolejności w tym ciągu będzie miał postać: \[ \class{color1}{a}_{2\class{color2}{n}}=\class{color1}{a}_1+(2\class{color2}{n}-1)\cdot \class{color3}{r}=2+(2\class{color2}{n}-1)\cdot2=2+4\class{color2}{n}-2=4\class{color2}{n} \]
Możemy teraz policzyć sumę (korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego) \(2\class{color2}{n} \) początkowych wyrazów tego ciągu: \[ S_{2\class{color2}{n}}=\frac{\class{color1}{a}_1+\class{color1}{a}_{2\class{color2}{n}}}{2}\cdot2\class{color2}{n}=\frac{2+4\class{color2}{n}}{2}\cdot2\class{color2}{n}=\\ =(1+2\class{color2}{n})\cdot2\class{color2}{n}=2\class{color2}{n}+4\class{color2}{n}^2=4\class{color2}{n}^2+2\class{color2}{n} \] Poprawna odpowiedź to odpowiedź B.