Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 8, próbna matura 2012 listopad

Suma \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:
A. \( S_{2n}=8n^2+4n \) B. \( S_{2n}=4n^2+2 \)
C. \( S_{2n}=4n^2+n \) D. \( S_{2n}=2n^2+2n \)

Ciąg parzystych liczb naturalnych dodatnich to ciąg arytmetyczny, który zdefiniujemy następująco: \[ \class{color1}{a}_1=2\\ \class{color3}{r}=2 \] Czyli - pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba \( 2 \) (bo jest to najmniejsza dodatnia, parzysta liczba), a różnica tego ciągu jest też równa \( 2 \) (różnica między każdymi kolejnymi liczbami parzystymi jest równa \( 2 \)).

Wyraz będący \( 2\class{color2}{n} \) w kolejności w tym ciągu będzie miał postać: \[ \class{color1}{a}_{2\class{color2}{n}}=\class{color1}{a}_1+(2\class{color2}{n}-1)\cdot \class{color3}{r}=2+(2\class{color2}{n}-1)\cdot2=2+4\class{color2}{n}-2=4\class{color2}{n} \]

Możemy teraz policzyć sumę (korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego) \(2\class{color2}{n} \) początkowych wyrazów tego ciągu: \[ S_{2\class{color2}{n}}=\frac{\class{color1}{a}_1+\class{color1}{a}_{2\class{color2}{n}}}{2}\cdot2\class{color2}{n}=\frac{2+4\class{color2}{n}}{2}\cdot2\class{color2}{n}=\\ =(1+2\class{color2}{n})\cdot2\class{color2}{n}=2\class{color2}{n}+4\class{color2}{n}^2=4\class{color2}{n}^2+2\class{color2}{n} \] Poprawna odpowiedź to odpowiedź B.

Drukuj

Polub nas