Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
polubienia

Zadanie nr 32, matura 2011 maj

Pewien turysta pokonał trasę \( 112 \)km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \( 3 \) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \( 12 \) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Oznaczmy jako \( d \) liczbę dni, przez jaką szedł turysta, oraz przez \( k \) liczbę kilometrów, jaką każdego dnia przeszedł. Mamy \[ d\cdot k=112 \] Z treści zadania dodatkowo wiemy, że gdyby szedł \(d+3\) (trzy dni więcej) dni idąc \(k-12\) (12 mniej) kilometrów dziennie przeszedłby tę samą trasę. Czyli \[ (d+3)(k-12)=112 \]

Mamy układ równań \[ d\cdot k=112 \\ (d+3)(k-12)=112 \] Wyliczymy z pierwszego równania \(d\) i podstawimy jego wartość do drugiego równania. \[ \begin{matrix} d\cdot k=112 & /:k \end{matrix}\\ d=\frac{112}{k} \] Podstawimy do drugiego równania i wyliczymy \(k\): \[ \left(\frac{112}{k}+3\right)(k-12)=112\\ \] Wymnożymy lewą stronę równania \[ \frac{112}{k}k+\frac{112}{k}(-12)+3k+3(-12)=112\\ \begin{matrix} 112+\frac{112}{k}(-12)+3k+3(-12)=112 & /-112 \end{matrix}\\ \begin{matrix} \frac{112}{k}(-12)+3k-3\cdot12=0 & /:3 \end{matrix}\\ \begin{matrix} \frac{112}{k}(-4)+k-12=0 & /\cdot k \end{matrix}\\ -448+k^2-12k=0\\ k^2-12k-448=0 \] Mamy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, czyli postaci \( f(x)=0 \), gdzie \(f(x)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej.
Współczynniki tego równania to: \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=-12\\ \class{color3}{c}=-448 \] Rozwiążemy to równanie, czyli wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(f(x)\).
Policzymy \(\bigtriangleup\) \[ \bigtriangleup=\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144-4\cdot(-448)=\\ =144+1792=1936 \] Delta (\(\bigtriangleup\)) jest większa od zera, mamy więc dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je \[ k_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\ k_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\[1em] \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{1936}=44\\[1em] k_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16\\ k_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28 \] Naturalnie turysta nie podróżował ujemnej liczby kilometrów. Zatem odpowiedź to:
Turysta przechodził dziennie 28 kilometrów.

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!
like like like