Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 34, matura 2010 maj

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \(240\text{ m}^2\). Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \(350\text{ m}^2\) oraz jest o \(5\text{ m}\) dłuższy i \(2\text{ m}\) szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Oznaczmy długość mniejszego (pierwszego) basenu jako \( d_1 \), a szerokość jako \( s_1 \). Podobnie oznaczmy długość większego (drugiego) basenu jako \( d_2 \), a szerokość jako \( s_2 \).
Z treści zadania wiemy, że \[ d_2=d_1+5 \\ s_2=s_1+2 \] Wiemy również, że \[ d_1\cdot s_1=240 \\ d_2\cdot s_2=350 \] Podstawmy do drugiego równania wypisane wcześniej zależności (\( d_2=d_1+5\) i \(s_2=s_1+2\)). Otrzymamy układ równań \[ \left\{ \begin{matrix} d_1\cdot s_1=240 \\ (d_1+5)(s_1+2)=350 \end{matrix} \right. \] Wyliczmy z pierwszego równania \( d_1 \) \[ \begin{matrix} d_1\cdot s_1=240 & /:s_1 \end{matrix}\\ d_1=\frac{240}{s_1} \] Po wstawieniu tego do drugiego równania otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą \[ \left(\frac{240}{s_1}+5\right)(s_1+2)=350 \\ \frac{240}{s_1}\cdot s_1+\frac{240}{s_1}\cdot 2+5\cdot s_1+5\cdot 2=350 \\ 240+2\frac{240}{s_1}+5\cdot s_1+10=350\\ \begin{matrix} 250+\frac{480}{s_1}+5\cdot s_1=350 & /-350 \end{matrix}\\ \begin{matrix} -100+\frac{480}{s_1}+5\cdot s_1=0 & /:5 \end{matrix}\\ \begin{matrix} -20+\frac{96}{s_1}+s_1=0 & /\cdot s_1 \end{matrix}\\ -20s_1+96+s_1^2=0 \\ s_1^2-20s_1+96=0 \]

Mamy równanie kwadratowe postaci \(f(x)=0\) gdzie funkcja \(f(x)\) zapisana jest w postaci ogólnej, a jej współczynniki to: \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=-20\\ \class{color3}{c}=96 \]

Wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(s_1^2-20s_1+96\). Wpierw policzymy deltę. \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-20)^2-4\cdot1\cdot96=400-384=16 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je: \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{16}=4 \\ s_{11}=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}= \frac{-(-20)-4}{2\cdot1}=\frac{20-4}{2}=\frac{16}{2}=8 \\ s_{12}=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}= \frac{-(-20)+4}{2\cdot1}=\frac{20+4}{2}=\frac{24}{2}=12 \] Szerokość pierwszego basenu to \(8\) lub \(12\). Wcześniej wyliczyliśmy zależność \(d_1=\frac{240}{s_1}\), zatem \[ d_{11}=\frac{240}{8}=30 \\ d_{12}=\frac{240}{12}=20 \] Więc wymiary pierwszego basenu to \(8\times30\) lub \(12\times20\). Wcześniej zapisaliśmy zależność: \[ s_2=s_1+2 \\ d_2=d_1+5 \] Mamy więc \[ s_{21}=8+2=10\\ s_{22}=12+2=12\\[1em] d_{21}=30+5=35\\ d_{22}=20+5=25 \] Mamy więc dwie możliwości:

Odpowiedź: Wymiary basenów to \(8\times30\) i \(10\times35\) lub \(12\times20\) i \(12\times25\).

Drukuj

Polub nas