|
Oznaczmy jako \(\class{color1}{v_p}\) prędkość, jaką pieszo poruszał się turysta, oraz niech \(\class{color2}{t_p}\) będzie czasem, w jaki przebył tę drogę.
Mamy
\[
\class{color2}{t_p}\cdot \class{color1}{v_p}=30
\]
Oznaczmy jako \(\class{color1}{v_r}\) prędkość, jaką turysta poruszał się rowerem. Z treści zadania wiemy, że prędkość ta była o 9km/h większa od \(\class{color1}{v_p}\), czyli
\[
\class{color1}{v_r}=\class{color1}{v_p}+9\tag{I}
\]
Niech \(\class{color2}{t_r}\) będzie czasem, w jaki turysta pokonał tę trasę rowerem. Zgodnie z treścią zadania czas ten był o 3 godziny krótszy od \(\class{color2}{t_p}\), zapiszemy to matematycznie
\[
\class{color2}{t_r}=\class{color2}{t_p}-3\tag{II}
\]
Oczywiście mamy też
\[
\class{color2}{t_r}\cdot \class{color1}{v_r}=30
\]
Wstawimy wartości z równań \(\text{I}\) i \(\text{II}\)
\[
(\class{color2}{t_p}-3)(\class{color1}{v_p}+9)=30 \tag{III}
\]
Wróćmy do równania \( \class{color2}{t_p}\cdot \class{color1}{v_p}=30 \). Wyliczymy zależność pomiędzy \( \class{color2}{t_p} \) i \( \class{color1}{v_p} \)
\[
\begin{matrix}
\class{color2}{t_p}\cdot \class{color1}{v_p}=30
&
/:\class{color2}{t_p}
\end{matrix} \\
\class{color1}{v_p}=\frac{30}{\class{color2}{t_p}}
\]
Wstawimy to do równania \(\text{III}\) i wyliczymy \( \class{color2}{t_p} \)
\[
(\class{color2}{t_p}-3)(\frac{30}{\class{color2}{t_p}}+9)=30 \\
\class{color2}{t_p}\cdot \frac{30}{\class{color2}{t_p}} + \class{color2}{t_p} \cdot 9 -3 \cdot\frac{30}{\class{color2}{t_p}} -3\cdot 9 = 30 \\
\begin{matrix}
30+ 9\class{color2}{t_p}-\frac{90}{\class{color2}{t_p}}-27=30
&
/-30
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
9\class{color2}{t_p}-\frac{90}{\class{color2}{t_p}}-27=0
&
/:9
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
\class{color2}{t_p}-\frac{10}{\class{color2}{t_p}}-3=0
&
/\cdot \class{color2}{t_p}
\end{matrix} \\
\class{color2}{t_p}^2-10-3\class{color2}{t_p}=0 \\
\class{color2}{t_p}^2-3\class{color2}{t_p}-10=0
\]
Mamy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, czyli
\[
\class{color1}{a}t_p^2+\class{color2}{b}t_p+\class{\color3}{c}=0
\]
Odczytujemy współczynniki równania
\[
\class{color1}{a}=1\\
\class{color2}{b}=-3\\
\class{\color3}{c}=-10
\]
Rozwiążemy zadanie licząc deltę i wyliczając pierwiastki
\[
\bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=49
\]
Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa rozwiązania, wyliczymy je
\[
\sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{49}=7 \\
t_{p1}=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2
\\
t_{p2}=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5
\]
Oczywiście turysta nie podróżował ujemną liczbę godzin. Zatem odrzucamy \( t_{p1}=-2 \). Podróżował więc \( 5 \) godzin.
Wcześniej wyliczyliśmy, że
\[
\class{color1}{v_p}=\frac{30}{\class{color2}{t_p}}
\]
Więc
\[
\class{color1}{v_p}=\frac{30}{5}=6
\]
Odpowiedź: Prędkość marszu turysty to 6km/h, a drogę przebył w 5 godzin.
