|
Rozpiszmy \( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2 \). Wymnóżmy wpierw lewą stronę równania \[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2 + b^2\cdot c^2 +b^2\cdot d^2=\\ =a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 \] Rozpiszmy teraz prawą stronę równania korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Mamy \[ (\class{color1}{ac}+\class{color2}{bd})^2=\class{color1}{(ac)}^2+2\class{color1}{ac}\class{color2}{bd}+\class{color2}{(bd)}^2\class{mathHint hintRozPotegWzglMnoz}=a^2c^2+2acbd+b^2d^2 \] Przyrównajmy wyliczone wartości prawej i lewej strony równania, wiedząc, że są sobie równe \[ a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2+2acbd+b^2d^2 \] Zaznaczmy i zredukujmy wyrazy podobne \[ \class{color1}{a^2c^2}+a^2d^2+b^2c^2+\class{color2}{b^2d^2}=\class{color1}{a^2c^2}+2acbd+\class{color2}{b^2d^2} \\ a^2d^2+b^2c^2=2acbd \] Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę równania \[ \begin{matrix} a^2d^2+b^2c^2=2acbd & /-2abcd \end{matrix}\\ a^2d^2+b^2c^2-2abcd=0\\ \] Zauważmy, że po drobnych przekształceniach możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy \[ a^2d^2+b^2c^2-2abcd=0\\ (ad)^2-2adbc+(bc)^2=0\\ \class{color2}{(ad)}^2-2\class{color1}{ad}\class{color2}{bc}+\class{color2}{(bc)}^2=0\\ (\class{color1}{ad}-\class{color2}{bc})^2=0 \] Spierwiastkujmy obydwie strony równania \[ \begin{matrix} (ad-bc)^2=0 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix}\\ \sqrt{(ad-bc)^2}=\sqrt{0} \] Wiedząc, że \( \sqrt{x^2}=|x| \) mamy \[ |ad-bc|=0 \] Wartość bezwzględną różnicy dwóch liczb możemy odczytać jako odległość tych liczb od siebie na osi liczbowej. Zatem odległość \( ad \) i \( bc \) na osi liczbowej jest równa zero. Są więc sobie równe, czyli \[ ad=bc \]
