Wskaż liczbę, która spełnia równanie \( |3x+1|=4x \).
|
A. \( -1 \)
|
B. \( 1 \)
|
C. \( 2 \)
|
D. \( -2 \)
|
Rozwiązanie I
Najprostszym rozwiązaniem tego zadania jest podstawienie dostępnych w zadaniu odpowiedzi za \(x\) i wybranie tej, dla której spełnione jest równanie.
Dla odpowiedzi A \( -1 \) otrzymujemy:
\[
|3\cdot (-1)+1|=4\cdot(-1)\\
|-3+1|=-4\\
|-2|=-4\\
2=-4
\]
Otrzymujemy sprzeczność, zatem odpowiedź A nie jest prawidłowa.
Dla odpowiedzi B \( 1 \) otrzymujemy:
\[
|3\cdot 1+1|=4\cdot 1\\
|3+1|=4\\
|4|=4\\
4=4
\]
Zatem prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź B.
Rozwiązanie II
W przypadku, kiedy nie mielibyśmy podanych odpowiedzi do wyboru, moglibyśmy rozwiązać zadanie następująco:
Zauważamy, że zgodnie z definicją
wartości bezwzględnej wartość wyrażenia \( |3x+1| \) jest równa \( 3x+1 \), gdy \( 3x+1 > 0 \) i \( -(3x+1) \), gdy \( 3x+1 \leq 0 \).
- Zajmijmy się przypadkiem, gdy \( 3x+1 > 0 \). Wyliczmy, kiedy \( 3x+1 > 0 \).
\[
3x+1 > 0 / -1 \\
3x > -1 / :3 \\
x > \frac{-1}{3} / :3
\]
Zatem naszym założeniem jest, że \( x > \frac{-1}{3} \).
Dla tych \( x \) nasze zadanie będzie miało postać:
\[
3x+1=4x /-3x \\
1=x
\]
Dla założenia \(x > \frac{-1}{3}\) otrzymujemy wynik \( x=1 \).
- Rozważymy teraz przypadek, gdy \( 3x+1 \leq 0 \). Wyliczmy, kiedy \( 3x+1 \leq 0 \).
\[
3x+1 \leq 0 / -1 \\
3x \leq -1 / :3 \\
x \leq \frac{-1}{3}
\]
(Wynik był oczywisty, rozważamy w tym przypadku wszystkie pozostałe \(x\))
Zatem naszym założeniem jest, że \( x \leq \frac{-1}{3} \).
Dla tych \( x \) nasze zadanie będzie miało postać:
\[
-(3x+1)=4x \\
-3x-1=4x /+3x \\
-1=7x /:7 \\
\frac{-1}{7}=x
\]
Tak więc założenia \(x \leq \frac{-1}{3}\) otrzymujemy wynik \( x=\frac{-1}{7} \). Jest to oczywiście sprzeczne, więc dla \(x \leq \frac{-1}{3}\) równanie nie ma rozwiązań.
Rozwiązaniem równania jest \( x=1\), czyli prawidłowa odpowiedź to
B
Drukuj
