Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) spełniają nierówności \( 0 <a<b<c \), to \( \frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2} \).
\[
0 <a<b<c \tag{I}
\]
\[
\frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2} \tag{II}
\]
\[
\begin{matrix}
\frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2} & /\cdot 2\cdot 3
\end{matrix}
\]
\[
\frac{a+b+c}{3}\cdot 6>\frac{a+b}{2}\cdot 6
\]
\[
(a+b+c)\cdot 2 > (a+b) \cdot 3
\]
\[
2a+2b+2c> 3a+3b
\]
\[
\begin{matrix}
2a+2b+2c> 2a+2b+a+b
&
/ -(2a+2b)
\end{matrix}
\]
\[
2c > a+b \tag{III}
\]
Przekształciliśmy nierówność \( \text{(II)} \) w równoważną nierówność \( \text{(III)} \). Udowodnimy ją zaczynając od prawej strony i korzystając z założenia \( \text{(I)} \) z zadania .
\[
a+b \stackrel{\text{(I)}}{<} c+b \stackrel{\text{(I)}}{<} c+c \\
a+b < 2c
\]
Drukuj
