Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 28, matura próbna 2012 listopad

Dana jest liczba \( a=\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}-2\sqrt{5} \). Wykaż, że liczba \( a \) jest całkowita.

Zajmiemy się wyrażeniem \( \sqrt{(2-2\sqrt{5})^2} \). Jako że \[ \sqrt{x^2}=|x| \] To mamy \[ \sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}=|2-2\sqrt{5}| \] Zauważamy, że \( 2-2\sqrt{5} \) jest mniejsze od zera (od \( 2 \) odejmujemy \( 2\sqrt{5} \), które jest większe od dwóch). Interesuje nas zatem wartość bezwzględna liczby ujemnej. Z definicji wartości bezwzględnej: \[ |\class{color1}{x}|=\left\lbrace \begin{matrix} \class{color1}{x}, & \class{color1}{x}>0 \\ -\class{color1}{x}, & \class{color1}{x}\leq 0 \end{matrix} \right . \] Czyli \[ |2-2\sqrt{5}|=-(2-2\sqrt{5}) = -2+2\sqrt{5} \]

Liczba \( a \) będzie więc równa \[ a=\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}-2\sqrt{5}=|2-2\sqrt{5}|-2\sqrt{5}=\\=-2+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=-2 \] Liczba \( -2 \) jest oczywiście liczbą całkowitą.

Drukuj

Polub nas