Matematyka - zadania z matematyki

Matematyka dla gimnazjum, Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały.

Iloraz ciągu arytmetycznego oznaczamy jako: \(\class{color1}{q}\)

Niech \(\class{color3}{a}_1\) będzie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego \((\class{color3}{a}_\class{color2}{n})\), oraz niech \(\class{color1}{q}\) będzie ilorazem tego ciągu. Wtedy \(\class{color2}{n}\)-ty wyraz tego ciągu jest równy: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{n}=\class{color3}{a}_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{n}-1} \]

Jeżeli \(\class{color3}{a}_\class{color2}{n}\), \(\class{color3}{a}_\class{color2}{n+1}\) i \(\class{color3}{a}_\class{color2}{n+2}\) to trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, to: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{n+1}^2 = \class{color3}{a}_\class{color2}{n} \cdot \class{color3}{a}_\class{color2}{n+2} \] Czyli: dowolny wyraz ciągu geometrycznego podniesiony do kwadratu jest równy iloczynowi dwóch sąsiadujących wyrazów.

Monotoniczność ciągu geometrycznego zależna jest od wyrazu początkowego i od ilorazu.
Gdy \(\class{color3}{a}_1 > 0\), mamy:

• gdy \(\class{color1}{q}>1\) to ciąg jest rosnący
• gdy \(0<\class{color1}{q}<1\) to ciąg jest malejący
• gdy \(\class{color1}{q}<0\) to ciąg nie jest ani rosnący ani malejący

• gdy \(\class{color1}{q}>1\) to ciąg jest malejący
• gdy \(0<\class{color1}{q}<1\) to ciąg jest rosnący
• gdy \(\class{color1}{q}<0\) to ciąg nie jest ani rosnący ani malejący

Matematyka dla szkół średnich/maturzystów