Matematyka - zadania z matematyki

Matematyka dla gimnazjum, Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym między dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Różnicę ciągu arytmetycznego oznaczamy jako: \(\class{color1}{r}\)

Niech \(\class{color3}{a}_1\) będzie pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego \((\class{color3}{a}_\class{color2}{n})\), oraz niech \( \class{color1}{r}\) będzie różnicą tego ciągu. Wtedy \(\class{color2}{n}\)-ty wyraz tego ciągu jest równy: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{n}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{n}-1)\cdot \class{color1}{r} \]

Jeżeli \(\class{color3}{a}_\class{color2}{n}\), \(\class{color3}{a}_\class{color2}{n+1}\) i \(\class{color3}{a}_\class{color2}{n+2}\) to trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, to: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{n+1} = \frac{\class{color3}{a}_\class{color2}{n} + \class{color3}{a}_\class{color2}{n+2}}{2} \] Czyli: dowolny wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiadujących wyrazów.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego zależna jest od jego różnicy.

• gdy \(0<\class{color1}{r}\) to ciąg jest rosnący
• gdy \(\class{color1}{r}<0\) to ciąg jest malejący

Suma pierwszych \( \class{color2}{n} \) wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: \[ S_\class{color2}{n}=\frac{\class{color3}{a}_1+\class{color3}{a}_\class{color2}{n}}{2}\class{color2}{n} \]

Matematyka dla szkół średnich/maturzystów