Zadania matematyczne
zadaniamatematyczne.pl
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^{\circ}\). Oblicz objętość objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku. H G F E A B C D

Aby wyliczyć objętość ostrosłupa, musimy znać jego wysokość oraz pole podstawy.
Jako że graniastosłup \(ABCDEFGH\) jest prawidłowy czworokątny, to jego podstawą (jak również ostrosłupa \(ABCDE\))jest kwadrat.
Oznaczymy sobie na rysunku wysokość (\(h\)), długość boku podstawy (\(a\)) oraz przekątną \(AC\) podstawy, która ma długość \(4\). H G F E A B C D a h 4 Więc w naszym przypadku wzór na objętość ostrosłupa ma postać: \[ V=\frac{P_p\cdot h}{3}=\frac{a^2\cdot h}{3} \]

Aby policzyć wysokość ostrosłupa skorzystamy z trójkąta \(ACE\). Kąt \(EAC\) jest oczywiście prosty (\(90^{\circ}\)) kąt \(ACE\) zgodnie z treścią zadania jest równy \(60^{\circ}\). Jako że suma kątów w trójkącie jest równa \(180^{\circ}\), to kąt \(CEA\) musi być równy \(30^{\circ}\). Narysujmy ten trójkąt: E A C 60° 30° h 4 Wyliczymy \(h\) korzystając z kotangensa kąta \(ACE\). Mamy: \[ \begin{matrix} \text{tg}60^{\circ}=\frac{h}{4} & /\cdot 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4\text{ tg}60^{\circ}=h\text{,} & \class{mathHint hintTrygPodstWart}{\text{tg}60^{\circ}=\sqrt{3}} \end{matrix} \\ h=4\text{tg}60^{\circ}= 4\sqrt{3} \] Wysokość ostrosłupa jest więc równa \(2\).

Policzymy teraz pole podstawy, czyli \(a^2\), korzystając z trójkąta \(ABC\). Przyprostokątne mają długość \(a\), a przeciwprostokątna ma długość 4. Korzystając z twierdzenia pitagorasa: \[ a^2+a^2=4^2\\ \begin{matrix} 2a^2=16 & /:2 \end{matrix}\\ a^2=8 \] Pole podstawy wynosi \(8\).

Policzymy objętość ostrosłupa: \[ V=\frac{P_p\cdot h}{3}=\frac{a^2\cdot h}{3}=\frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{3}=\frac{32\sqrt{3}}{3} \]