Rozwiązanie I

Rozwiążemy zadanie sprowadzając przekształceniami wielomian do postaci iloczynowej, a następnie odczytując z niej pierwiastki.

\[ W(x)=x^3+4x^2-9x-36=\class{color1}{x^3-9x}+\class{color2}{4x^2-36}\class{hintMath hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\\class{hintMath hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\class{color1}{(x^2-9)\cdot x}+\class{color2}{(x^2-9)\cdot 4}\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=} (x^2-9)(x+4)=\\=(x^2-3^2)(x+4)\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}(x-3)(x+3)(x+4)=\\=(x-3)(x-(-3))(x-(-4)) \] Odczytujemy z postaci iloczynowej \(W(x)=(x-\class{color1}{3})(x-\class{color1}{(-3)})(x-\class{color1}{(-4)})\) pierwiastki: \(x_1=3\), \(x_2=-3\) i \(x_3=-4\). Zatem szukany pierwiastek wielomianu to \(-3\).

Odpowiedź: Trzeci pierwiastek wielomianu \(W(x)\) to \(3\).

Rozwiązanie II

Dzieląc wielomian, korzystając z podanych w treści zadania pierwiastków sprowadzimy go do postaci iloczynowej. Podzielimy wielomian \(W(x)\) przez \((x+4)\). \[ \begin{matrix} &x^2& & &- & 9 & \\ &(x^3 & + & 4x^2 & - & 9x & - & 36) & : & (x+4)\\ -&(x^3 & + & 4x^2) \\ & & & & (- & 9x&-&36)\\ & & & -&(- &9x &-&36)\\ & & & & & =&&= \end{matrix} \] Zatem \[ W(x)=(x^2-9)(x+4)=(x^2-3^2)(x+4)\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}\\\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}(x-3)(x+3)(x+4)=(x-3)(x-(-3))(x-(-4))\]

Odczytujemy z postaci iloczynowej \[ W(x)=(x-\class{color1}{3})(x-\class{color1}{(-3)})(x-\class{color1}{(-4)}) \] pierwiastki: \(x_1=3\), \(x_2=-3\) i \(x_3=-4\). Zatem szukany pierwiastek wielomianu to \(3\).

Odpowiedź: Trzeci pierwiastek wielomianu \(W(x)\) to \(-3\).