Zadania matematyczne
zadaniamatematyczne.pl
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest
A. czworokąt B. pięciokąt C. sześciokąt D. dziesięciokąt

Weźmy pod uwagę sześcian, który oczywiście jest graniastosłupem. Podstawą jest kwadrat, który ma cztery boki. Policzmy jego krawędzie: 4 jednej podstawy, 4 drugiej oraz 4 krawędzie boczne (łącznie \(4\cdot 2 = 12\)). Graniastosłup ten ma 4 ściany boczne
Podobnie dla graniastosłupa o podstawie pięciokąta mamy: 5 u dwóch podstaw i 5 krawędzi bocznych (łącznie \(5\cdot3 = 15\)), oraz 5 ścian bocznych. Widzimy, że jeżeli podstawa ma \( n \) boków, to liczba krawędzi to \( n\cdot 3 \) a liczba ścian bocznych to \( n \).

Z treści zadania wiemy, że liczba wszystkich krawędzi jest o 10 większa od liczby ścian bocznych. Mamy więc \[ n\cdot 3 - 10 = n \] Wyliczmy liczbę krawędzi, czyli \( n \). \[ \begin{matrix} n\cdot 3 - 10 = n & /+10 \end{matrix}\\ \begin{matrix} n\cdot 3 = n + 10 & /-n \end{matrix}\\ n\cdot 3 - n = 10 \\ \begin{matrix} 2n = 10 & /:2 \end{matrix}\\ n = \frac{10}{2}=5 \]

Liczba boków podstawy to \( 5 \), więc podstawą jest pięciokąt. Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.