\[ 0 <a<b<c \tag{I} \] \[ \frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2} \tag{II} \] \[ \begin{matrix} \frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2} & /\cdot 2\cdot 3 \end{matrix} \] \[ \frac{a+b+c}{3}\cdot 6>\frac{a+b}{2}\cdot 6 \] \[ (a+b+c)\cdot 2 > (a+b) \cdot 3 \] \[ 2a+2b+2c> 3a+3b \] \[ \begin{matrix} 2a+2b+2c> 2a+2b+a+b & / -(2a+2b) \end{matrix} \] \[ 2c > a+b \tag{III} \] Przekształciliśmy nierówność \( \text{(II)} \) w równoważną nierówność \( \text{(III)} \). Udowodnimy ją zaczynając od prawej strony i korzystając z założenia \( \text{(I)} \) z zadania . \[ a+b \stackrel{\text{(I)}}{<} c+b \stackrel{\text{(I)}}{<} c+c \\ a+b < 2c \]