Miejscem zerowym funkcji \(f\) określonej wzorem
\(
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2-1 & \text{dla }x\in(-\infty,-4\rangle \\
5x+10 & \text{dla }x\in\langle-4,2) \\
x+4 & \text{dla }x\in\langle2,+\infty)
\end{matrix}
\right.
\) jest:
| A. \( -4 \) | B. \( -2 \) | C. \( -1 \) | D. \( 1 \) |
Rozwiązanie I
Podstawimy do równania funkcji \( f \) za argument kolejne odpowiedzi i sprawdzimy, czy wartość funkcji będzie równa \( 0 \).- A. \( -4 \)
Liczba \( -4 \) należy do przedziału \( (-\infty,-4\rangle \). Podstawimy więc \( -4 \) za \(x\) w wyrażeniu \( x^2-1 \). \[ f(-4)=(-4)^2-1=16-1=15 \] Nie otrzymaliśmy wartości \( 0 \), zatem to nie jest prawidłowa odpowiedź. - B. \( -2 \)
Liczba \( -2 \) należy do przedziału \( \langle-4,2) \). Podstawimy więc \( -2 \) za \(x\) w wyrażeniu \( 5x+10 \). \[ f(-2)=5(-2)+10=-10+10=0 \] \( f(-2)=0 \), zatem \( -2 \) jest miejscem zerowym funkcji \( f \).
B to prawidłowa odpowiedź.
Rozwiązanie II
W ten sposób moglibyśmy rozwiązać zadanie bez podanych odpowiedzi.Funkcja określona jest przedziałami \( (-\infty,-4\rangle \), \( \langle-4,2) \) i \( \langle2,+\infty) \). Sprawdzimy po kolei w którym przedziale jest miejsce zerowe.
- Przedział \( (-\infty,-4\rangle \):
W tym przedziale \( f(x)=x^2-1 \). Szukamy miejsca zerowego, czyli dla jakiego \(x\) jest tak, że \( f(x)=0 \). \[ \begin{matrix} x^2-1=0 & /+1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} x^2=1 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ |x|=1 \] W ostatnim kroku korzystamy z faktu, że \( \sqrt{x^2}=|x| \). Liczby, których wartość bezwzględna jest równa \( 1 \) to \( -1 \) i \( 1 \). Obie nie należą do sprawdzanego przedziału \( (-\infty,-4\rangle \). Zatem nie są miejscami zerowymi funkcji \( f \). - Przedział \( \langle-4,2) \):
Postępujemy podobnie. W tym przedziale \( f(x)=5x+10 \). Szukamy miejsca zerowego, czyli dla jakiego \(x\) jest tak, że \( f(x)=0 \). \[ \begin{matrix} 5x+10=0 & /-10 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5x=-10 & /:5 \end{matrix} \\ x=\frac{-10}{5}=-2 \] Spośród liczb z odpowiedzi tylko \(x=-2\) należy do sprawdzanego przedziału \( \langle-4,2) \), jest zatem miejscem zerowym.
Odpowiedź B jest prawidłowa.