Oznaczmy przez \( k \) prostą zawierającą bok \( AB \), oraz przez \( l \) prostą, na której leży wysokość poprowadzona z wierzchołka \( C \). Wtedy sytuację z zadania możemy przedstawić jako
Widzimy, że punkt \( D \) leży na przecięciu prostych \( k \) i \( l \). Wyznaczymy równania tych prostych.
Równanie prostej w postaci kierunkowej to \[ y=\class{color1}{a}x+\class{color2}b \]
Prosta \( k \) przechodzi przez punkty \( A=(1,5) \) i \( B=(14,31) \). Zatem współrzędne tych punktów będą spełniały równanie tej prostej.
Mamy więc
\[
y=\class{color1}{a_k}x+\class{color2}{b_k}\\[1em]
5=\class{color1}{a_k}\cdot1+\class{color2}{b_k}\\
31=\class{color1}{a_k}\cdot14+\class{color2}{b_k}
\]
Rozwiążemy układ równań
\[
\left\{
\begin{matrix}
5=\class{color1}{a_k}+\class{color2}{b_k}\\
31=14\class{color1}{a_k}+\class{color2}{b_k}
\end{matrix}
\right.
\]
Odejmiemy od drugiego równania pierwsze (zredukują się \( \class{color2}{b_k} \)) i wyliczymy \( \class{color1}{a_k} \)
\[
31-5=14\class{color1}{a_k}+\class{color2}{b_k}-(\class{color1}{a_k}+\class{color2}{b_k})\\
26=14\class{color1}{a_k}+\class{color2}{b_k}-\class{color1}{a_k}-\class{color2}{b_k}\\
\begin{matrix}
26=13\class{color1}{a_k}
&
/:13
\end{matrix}\\
\class{color1}{a_k}=\frac{26}{13}=2
\]
Z pierwszego równania wyliczymy wartość \( \class{color2}{b_k} \)
\[
5=\class{color1}{a_k}+\class{color2}{b_k}\\
\begin{matrix}
5=2+\class{color2}{b_k}
&
/-2
\end{matrix}\\
\class{color2}{b_k}=5-2=3
\]
Równanie prostej \( k \) to
\[
y=2x+3
\]
Znajdziemy teraz równanie prostej \( l \). Niech jej równanie to \[ y=\class{color1}{a_l}x+\class{color2}{b_l} \] Wiemy, że jest ona prostopadła do prostej \( k \) (wysokość trójkąta pada prostopadle na bok lub przedłużenie boku). Dwie proste o równaniach w postaci kierunkowej są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych (\class{color1}a \) jest równy \( -1 \), czyli gdy \[ \class{color1}{a_k}\cdot\class{color1}{a_l}=-1 \] Współczynnik kierunkowy prostej \( k \) to \( 2 \), zatem mamy \[ \begin{matrix} 2\cdot\class{color1}{a_l}=-1 & /:2 \end{matrix}\\ \class{color1}{a_l}=\frac{-1}{2} \] Równanie prostej \( l \) to w takim razie \[ y=-\frac{1}{2}x+\class{color2}{b_l} \] Wiemy, że na prostej \( l \) leży punkt \( C=(4,31) \), czyli współrzędne punktu \( C \) spełniają równanie prostej \( l \). \[ 31=-\frac{1}{2}\cdot 4 +\class{color2}{b_l}\\ \begin{matrix} 31=-2+\class{color2}{b_l} & /+2 \end{matrix}\\ \class{color2}{b_l}=33 \] Równanie prostej \( l \) to \[ y=-\frac{1}{2}x+33 \]
Punkt \( D \) leży na przecięciu prostych \( k \) i \( l \), zatem spełnia równania obu prostych. Niech \( D=(x_D,y_D) \). Mamy więc układ równań \[ \left\{ \begin{matrix} y_D=-\frac{1}{2}x_D+33 \\ y_D=2x_D+3 \end{matrix} \right. \] Odejmiemy od pierwszego równania drugie (zredukują się \( y_D \). \[ y_D-y_D=-\frac{1}{2}x_D+33 - (2x_D+3)\\ 0=-\frac{1}{2}x_D+33 - 2x_D-3\\ 0=-\frac{1}{2}x_D- 2x_D+33-3\\ 0=-\frac{1}{2}x_D- \frac{4}{2}x_D+30\\ \begin{matrix} 0=-\frac{5}{2}x_D+30 & +\frac{5}{2}x_D \end{matrix}\\ \begin{matrix} \frac{5}{2}x_D=30 & /\cdot\frac{2}{5} \end{matrix}\\ x_D=30\cdot\frac{2}{5}=6\cdot2=12 \] Wyliczymy wartość \( y \) korzystając z drugiego równania \[ y_D=2x_D+3\\ y_D=2\cdot12+3=24+3=27 \] Punkt \( D \) ma współrzędne \( 12,27 \).
Policzymy długość odcinka \( BD \) wiedząc, że długość odcinka o końcach w punktach \( A=(\class{color1}{x_A},\class{color2}{y_A}) \) i \( B=(\class{color1}{x_B},\class{color2}{y_B}) \) jest równa \[ |AB|=\sqrt{(\class{color1}{x_A}-\class{color1}{x_B})^2+(\class{color2}{y_A}-\class{color2}{y_B})^2} \] Odcinek \( BD \) ma końce w punktach \( B=(14,31) \) i \( D=(12,27) \), mamy więc \[ |BD|=\sqrt{(14-12)^2+(31-27)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\\=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}\class{mathHint hintRozPierwWzglMnoz}=\sqrt{4}\sqrt{5}=2\sqrt{5} \]
Odpowiedź: Długość odcinka \( BC \) to \( 2\sqrt{5} \).